Новый метод учета трещины ГРП в гидродинамических моделях на неструктурированных сетках

24.06.2018
Источник: Журнал «PROнефть»

A new approach for accounting of hydraulic fracture in simulation models based on unstructured grids 

УДК 622.276.66.001.57 

А.П. Рощектаев, к.ф.-м.н., А.В. Якасов
Научно-Технический Центр «Газпром нефти» (ООО «Газпромнефть НТЦ»)  

Электронные адреса: Roshchektaev.AP@gazpromneft-ntc.ru, Yakasov.AV@gazpromneft-ntc.ru

Ключевые слова: неструктурированные сетки, трещина гидроразрыва пласта (ГРП), гидродинамический симулятор, PEBI ячейки

A.P. Roshchektaev, A.V. Yakasov
Gazpromneft NTC LLC, RF, Saint-Petersburg
 
The article presents a mathematical model of the inflow to the fracture on PEBI grids. In the proposed approach, the fracture is represented as a set of faces, where each face has its own properties (permeability, width, cross-sectional area). A well corresponds to a node from which a fracture or several fractures emanate at specified angles. The boundary condition at the node is a constant pressure or a constant flow of liquid. Flows from the cells to the faces correspond to flows from the matrix to the fracture, additional flows are recorded in the fracture itself through the faces to the well, taking into account its conductivity.

Keywords: unstructured grids, hydraulic fracturing, hydrodynamic simulator, PEBI cells
   
DOI: 10.24887/2587-7399-2018-2-47-51

Введение

В связи с развитием вычислительных мощностей и новых численных методов все большее распространение получает использование неструктурированных сеток при моделировании физических процессов, в частности, в гидродинамике. Основное преимущество неструктурированных сеток при гидродинамическом моделировании заключается в гибкости построения геометрии пласта и возможности свободного задания трещин гидрорзрыва пласта (ГРП) и разломов. В применяемых коммерческих симуляторах, использующих двухточечную аппроксимацию (например, Eclipse), можно задать трещину ГРП напрямую с помощью локального измельчения. Однако возникает сложность со сходимостью численной схемы из-за большой разницы проницаемости пласта и трещины. При большом числе скважин с ГРП полученная размерность сетки из-за измельчения может также стать слишком большой для расчета. Поэтому применяются аналитические решения для дебита скважины с ГРП, полученные в стационарном случае. Одним из таких способов является моделирование ГРП с помощью скин-фактора. Однако данный способ нельзя использовать, если полудлина трещины сопоставима с размерами сетки скважин, так как он не учитывает правильно геометрию течения. В статье предложена модель трещины ГРП конечной проводимости, не требующая локального измельчения на нерегулярной сетке, в методах Mixed Finite-Element Method (MFEM) [1] и Mimetic Finite-Difference Method (MFDM) [2]. В российской литературе существует аналог данных методов – метод опорных операторов [3].

МЕТОД MFEM

Рассмотрим следующую систему уравнений эллиптического типа, в которой первое уравнение – закон Дарси, второе – закон сохранения массы:


где →v – скорость фильтрации; p – давление;

k – тензор проницаемости; q – источник. Рассматривается однофазный стационарный поток.

Метод заключаются в следующем: во-первых, расчет давлений и скоростей проводится одновременно в отличие от двухточечной аппроксимации, когда после определения давления скорость выражается напрямую; вовторых, применяется слабая формулировка к решению системы уравнений (1), т.е. ищется решение, удовлетворяющее уравнению, умноженному на тестовую функцию и интегрированному по пространству; в-третьих, неизвестное решение определяется суммой базисных функций, которые имеют кусочно-полиномиальный вид (обычно используется полином первой степени).

В работе [1] показано, что задачу можно решить с помощью системы уравнений


где p – давление на гранях ячеек, вводится для получения положительно определенной системы уравнений.

Для решения системы уравнений (2) применим метод дополнения Шура, в результате которого получают выражение для определения давления на гранях


где F=CTB-1D, L=CTB-1C.

Затем последовательно находят поля давлений Lp и скоростей Bv

МЕТОД MFDM

Метод MFDM можно рассматривать как конечно-разностный двойник вышеописанного метода MFEM, где переменные скоростей заменяются переменными, которые соответствуют потокам через грани ячеек. Также предполагается линейность давления внутри ячейки p =x × a+ b.

Система уравнений будет иметь вид, аналогичный системе (2), где вместо вектора скоростей v используется вектор потоков u, а В по смыслу обратна проводимости. В работе [2] представлено несколько способов расчета матрицы B.

Граничные условия и скважины

Постоянный поток на грани соответствует появлению правой части в третьем уравнении системы (2). Постоянное давление на грани означает, что в первом уравнении все известные pk переносятся в правую часть, а соответствующие переменные из третьего уравнения удаляются. В общем виде система (2) будет выглядеть следующим образом:


где а – правая часть уравнения, а≠0 при известном потоке через грань; с – правая часть уравнения, с≠0 при известном давлении на грани.

При добавлении скважины ее периметр можно рассматривать как отдельную границу с постоянным давлением либо c постоянным дебитом.

Дебит скважины можно записать по аналогии с первым уравнением системы (2), введя скважинный индекс WI

 

где qi, pw,i – соответственно дебит и забойное давление i-й скважины.

В зависимости от того, какая переменная (q или PW ) известна, действуют так же, как в случае постоянного потока или постоянного давления. В общем виде система выглядит следующим образом:



где аw – правая часть уравнения, аw≠0 при известном q; сw – правая часть уравнения, сw≠0 при известном pw.

Если матрицы В и D соединить по диагонали, а матрицу C по вертикали, то получим систему уравнений (6).

Добавление трещины ГРП

Пусть задана трещина проницаемостью kf шириной m и высотой h. На рис.1 показана схема притока к полутрещине, окруженной ячейками сетки. В расчетной сетке трещину можно задать набором граней ячеек с нулевой шириной (на рис. 1, а трещина имеет ненулевую ширину для наглядности), сама скважина будет представлена в виде точки на пересечении граней (красная точка на рис. 1, б).


Рис. 1. Приток к трещине ГРП (а) и моделирование трещины в расчетной сетке (б)

Приведем уравнения для притока из ячеек к граням, соответствующим трещине


а также для потока внутри трещины

где Tfr =kf hm/Äl – проводимость трещины; Äl – расстояние между центрами граней; p0 – давление в скважине.

Приток к скважине от l-й полутрещины представим в виде


Если известно давление в скважине p0, то оно переносится в правую часть уравнения (11). В системе уравнений (6) в вектор u добавляется вектор неизвестных {u0l}, чей размер равен числу полутрещин n . К матрице B диагонально добавляется Bl. Для того, чтобы учесть давление на грани p1l, матрица D вертикально увеличивается на nf и в соответствующем столбце для u0l прописывается значение 1.

Если известен дебит скважины, то дополнительно увеличивается вектор р до переменной р0, матрица С возрастает диагонально и в соответствующем столбце для р0 прописывается значение 1. Условие для дебита q будет выполняться во втором уравнении системы (6) добавлением значения qw в правую часть вектора q

Для учета потока в самой трещине запишем

Перепишем в следующем виде:

или в общем виде

 

где

Система уравнений (6) преобразуется следующим образом:

Нестационарная однофазная задача фильтрации

Систему уравнений (17) можно модифицировать для решения нестационарной однофазной задачи [4]. Для этого проведем дискретизацию второго уравнения системы с учетом сжимаемости 

где ct – общая сжимаемость; j – пористость; V – объем.

В общем виде 


Тогда система уравнений (17) примет следующий вид:


Для решения системы уравнений (20) предлагается такой итерационный подход, когда поровый объем берется с предыдущего временного шага. Цикл продолжается, пока не будет выполняться условие |pg+1 – pg| < e.


Рис. 2. Модели трещины ГРП в программе Eclipse (а) и на неструктурированной сетке (б)

Результаты

Для моделирования трещины ГРП в программе Eclipse использовалось измельчение сетки (рис. 2, а) в квадратной области без перетоков. В данной модели число ячеек составляло 9603, кроме того, была построена аналогичная модель на неструктурированной сетке из 2102 ячеек (рис. 2, б). На рис. 3 приведено сравнение динамики нестационарного дебита жидкости скважины с ГРП для моделей, построенных в двух различных программах. Из рис. 3 видно, что предложенная модель хорошо согласуется с расчетами на коммерческом симуляторе Eclipse, но при этом не требует существенного локального измельчения вблизи трещины ГРП.


Рис. 3. Динамика дебита жидкости

На рис. 4 показаны карты давлений, построенные в программах Eclipse и Pebi Grid. Следует отметить, что на неструктурированной сетке можно легко реализовать варианты, когда полутрещины лежат не на одной прямой и имеют разные значения полудлин. Кроме того, число полутрещин может быть больше двух.


Рис. 4. Карты давлений, построенные в программе Eclipse (а) и на неструктурированной сетке (б)

Заключение

Реализованная модель позволяет определить динамику добычи и закачки скважин с трещинами ГРП конечной проводимости без существенного измельчения сетки, которое часто используется для корректного воспроизведения потоков. Сравнение этой динамики с результатами, полученными на коммерческом симуляторе с помощью локального измельчения, показало высокую точность разработанной модели. Кроме того, данная модель может быть легко расширена для решения многофазной задачи.

Список литературы

1.   Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods, volume 15 of Springer Series in Computational Mathematics. – New York, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97582-9.

2.   Brezzi F., Lipnikov K., Simoncini V. A family of mimetic finite difference methods on polygonial and polyhedral meshes. Math. Models Methods Appl. Sci., 15:1533-1553, 2005. DOI:10.1142/S0218202505000832.

3.   Разностные схемы на нерегулярных сетках / А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко [и др.]. – Минск: ЗАО «Критерий», 1996. – 276 с.

4.   Natvig J.R., Skaflestad B. Multiscale Mimetic Solvers for Efficient Streamline Simulation of Fractures Reservoirs // SPE 119132. – MS. – 2009.

Reference

1.   Brezzi F., Fortin M., Mixed and hybrid finite element methods, New York: Springer-Verlag, 1991. 362 p.

2.   Brezzi F., Lipnikov K., Simoncini V., A family of mimetic finite difference methods on polygonial and polyhedral meshes, Math. Models Methods Appl. Sci., 2005, V. 15, pp. 1533-1553.

3.   Samarskiy A.A., Koldoba A.V., Poveshchenko YU.A. et al., Raznostnyye skhemy na neregulyarnykh setkakh (Difference schemes on irregular grids), Minsk: Kriteriy Publ., 1996.

4.   Natvig J.R., Skaflestad B., Multiscale mimetic solvers for efficient streamline simulation of fractures reservoirs, SPE 119132-MS, 2009.


Авторы статьи:  А.П. Рощектаев, к.ф.-м.н., А.В. Якасов
Научно-Технический Центр «Газпром нефти» (ООО «Газпромнефть НТЦ»)

Источник:  Журнал «PROнефть»

Возврат к списку