Модель для экспресс-оценок дизайна ГРП с использованием приближенного аналитического решения

Источник: Журнал «PROнефть»

Е.В. Шель, Г.В. Падерин Научно-Технический Центр «Газпром нефти» (ООО «Газпромнефть НТЦ»)

Гидроразрыв пласта (ГРП) – основной метод интенсификации добычи нефти из традиционных и нетрадиционных коллекторов. Планирование, сопровождение и оптимизация ГРП осуществляются с использованием специализированных программных пакетов, например, MFrac, FracPro, FracCADE, Mangrove, которые либо продаются добывающим и нефтесервисным компаниям, либо являются разработками нефтесервисных компаний, и расчеты в них предоставляются как часть сервисных услуг. Разработка собственных подходов к математическому моделированию дизайна ГРП является одной из приоритетных задач в рамках стратегии импортозамещения.

Основные аналитические модели (PKN, KGD, Radial) в теории ГРП получены в 50-70х годах ХХ века. Из этих моделей наиболее адекватной для месторождений Западной Сибири является модель PKN [1,2]. Однако даже она не учитывает строение геологического разреза, в связи с чем стали разрабатываться численные модели такие, как Рseudo3D, planar3D и Full3D со значительными вычислительными ресурсами. В данной работе сделан акцент на получении прокси и аналитического решений в модели Pseudo3D.

PSEUDO3D МОДЕЛЬ

 Псевдотрехмерная модель Pseudo3D [3, 4] (рис. 1) является по сути расширенной моделью PKN и строится с учетом следующих предположений.


Рис. 1. Модель Pseudo3D:
σ0 – напряжение (горное давление); Δσ – изменение напряжения; h – высота трещины; H ‑ толщина слоя; w – раскрытие трещины

1. Рост трещины происходит в плоскости, перпендикулярной минимальному горному напряжению, которое на больших глубинах направлено горизонтально. Трещина растет симметрично вправо и влево, поэтому во многих симуляторах изображается только одно крыло трещины. В рассматриваемой модели также имеется симметрия по вертикали.

2. В моделях, описывающих трещину ГРП, вводится так называемое чистое давление
р=рf – σ0 (рf – полное давление флюида (жидкости ГРП)). На краю трещины полудлиной L степень раскрытия w=0, следовательно, из уравнений линейной механики хрупкого разрушения p(L)=0. Граница трещины определяется двумя функциями: L(t) и h(x, t) (t – время). В представленной ниже формулировке эти функции заменены на L(h0) и h(x, h0) (h0 – высота трещины в центре), так как в принятой нами постановке любому времени t соответствует свое значение высоты трещины в центре h0, следовательно, t является функцией h0.

3. Вертикальный поток жидкости считается пренебрежимо малым по сравнению с горизонтальным. Это выполняется, когда рост трещины происходит в основном по горизонтали. В каждом вертикальном сечении сохраняется закон сохранения массы, горизонтальный поток усредняется по вертикали.

4. Раскрытие трещины в каждом профиле определяется условиями плоской деформации. Это приближение следует из основного предположения h<<L. Однако на кончике трещины это приближение не выполняется.

5. Утечки в пласт рассчитываются по формуле Картера в предположении одномерного течения около контура трещины.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА

Из плоской задачи теории упругости [5] следует формула для профиля трещины высотой h в продуктивном слое толщиной H, с изменением напряжений Δσ, трещинностой костью соседних слоев K1 и модулем плоской упругой деформации Eʹ=E/(1–ν2), где Е – модуль Юнга; ν – коэффициент Пуассона.


В безразмерном виде профиль трещины зависит только от безразмерной трещинностойкости K, которая для пластовых условий, как правило, незначительная и несущественно влияет на раскрытие трещины, и безразмерной высоты λ .

Уравнение Пуазейля для одномерного потока в трещине имеет следующий вид:


Основным уравнением развития трещины является закон сохранения массы для одномерного течения


где S – площадь вертикального сечения трещины; Сl – коэффициент утечек по Картеру.

ПОСТРОЕНИЕ ПРОКСИ-МОДЕЛЕЙ

Основная идея при построении прокси-моделей состоит в отказе от численного решения путем построения разностных схем, как при традиционном подходе Cell-based Pseudo3D [6]. Вместо этого предлагается использовать известные аналитические решения и проводить их сшивку. Например, в работе [7] предлагается для определения профиля ширины по высоте трещины использовать точное аналитическое решение, для нахождения высоты – критерий Ирвина, длины – решение PKN, а сшивку выполнять по чистому давлению в отличие от предшествующих работ, например [8], где для определения чистого давления применялось некорректное приближение, а сшивка проводилась по высоте.

ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

Приближенное аналитическое решение было получено благодаря выделению новых безразмерных параметров, отсутствующих в работе [6]


где А(h0)=L(h0)/h0 – половина аспектного отношения трещины; γ=Eʹ 3Q/(Δσ4H3) – малый параметр задачи, разложение по которому позволяет получить новое аналитическое решение.

Физический смысл параметра γ заключается в отношении толщины пласта к достижимой длине трещины. Чем меньше γ, тем больше длина трещины.

Для дальнейшего решения задачи принимается безразмерная проницаемость трещины


Для выделения безразмерных параметров используется безразмерное время

 

В результате получаем следующее уравнение:


которое дополняется граничным условием на поток в правую половину в начале трещины


или


Здесь выделен безразмерный параметр утечек, являющийся для большинства трещин малым. Это параметр влияния утечек на форму трещины, или параметр «мгновенных» утечек. «Интегральный» параметр утечек, как правило, больше на несколько порядков. Он характеризует эффективность жидкости и конечный объем трещины, но не ее форму.

Аналитическое решение получается, если исключить все члены в уравнении (7) с малыми параметрами. Тогда с учетом граничного условия


Уравнение (10) показывает, что поток жидкости вдоль трещины постоянен, т.е. оттоки по вертикали пренебрежимо малы. Это и является основным положением модели Pseudo3D.

Интегрируя уравнение (10) по частям, получаем соотношение в квадратурах


где G(λ0, K) – универсальная функция, характеризующая достигаемую безразмерную длину трещины при данной высоте


Рис. 2. Зависимость λот параметра l при различных значениях K∈(0,1) 

Графики функции G(λ0, K) для разных значений параметра K∈(0,1) приведены на рис. 2. Полудлина трещины L рассчитывается по формуле


Из формулы (13) следует, что выделенный авторами безразмерный параметр γ является единственным параметром, на который влияет дизайн ГРП и который может влиять на длину трещины.

Из этих же формул получаем значение для аспектного отношения трещины



Рис. 3. Зависимость аспекитного отношения трещины А0 от безразмерного параметра λ0

Из рис. 3 видно, что аспектное отношение трещины имеет максимум , который нельзя превысить ни при каких условиях, что является важным физическим выводом.

Данные решения без труда обобщаются по той же схеме для гелей ГРП, изменение свойств которых подчиняется степенному закону. Приближенное решение постоянного потока позволяет не только получить форму трещины для какого-то одного геля ГРП, но и для трещины, созданной разными гелями, примененными поочередно. Результаты расчета для гибридного ГРП, при котором используются линейный гель и жидкость, подчиняющаяся степенному закону, приведены на рис. 4.


Рис. 4. Пример расчета для гибридного ГРП

ВЫВОДЫ

1. Предложены подходы к моделированию ГРП в Pseudo3D постановке. Основным преимуществом прокси и приближенного аналитического решения является отсутствие необходимости численного решения нелинейного уравнения второго порядка.

2. Аналитическое решение выполнено в безразмерных переменных и зависит от трех безразмерных параметров. Это позволяет определить степень влияния литологии пласта и реологичеких свойств жидкости на геометрические параметры трещины ГРП. Отличительной особенностью данного решения является возможность моделировать гибридный ГРП.

Список литературы

1. Perkins T.K., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures // J. Pet. Tech., Trans. AIME. – 1961. – V. 222. – P. 937–949.

2. Nordgren R.P. Propagation of vertical hydraulic fractures // J. Pet. Tech. – 1972. – V. 253. – P. 306-314.

3. Settari A., Cleary M.P. Development and testing of a pseudo-three-dimensional model of hydraulic fracture geometry (p3dh) // SPE 10505-РА, 1986.

4. Meyer B.R. Design formulae for 2d and 3-d vertical hydraulic fractures: Model comparison and parametric studies // SPE 15240. – 1986.

5. Мусхелишвили Н.И., Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. – 706 с.

6. Adachi J.I., Detournay E., Pierce A.P. An Analysis of the Classical Pseudo-3D Model for Hydraulic Fracture with Equilibrium Height Growth across Stress Barriers // Int. J. of Rock Mechanics & Mining Sciences. – 2010. – V. 47. – P. 625–639.

7. Paderin G.V. Modified Approach to Incorporating Hydraulic Fracture Width Profile in Unified Fracture Design Model, SPE Russian Petroleum Technology Conference // SPE 182034. – 2016.

8. Economides M.J., Olygney R.E, Valko P.P. Unified Fracture Design. – Texas:Orsa Press Alvin, 2002. –– 262 р.


Авторы статьи:  Е.В. Шель, Г.В. Падерин Научно-Технический Центр «Газпром нефти» (ООО «Газпромнефть НТЦ»)
Источник:  Журнал «PROнефть»

Возврат к списку